The Japanese word for to cough is
咳をする

せきをする - seki wo suru

Japanese Definition

cough
1. 名詞. 咳。
Behind me, I heard a distinct, dry cough.
私の後ろで、大きな空咳が聞こえた。
2. 名詞. 咳が止まらない状態。
Sorry, I can't come to work today – I've got a nasty cough.
すみません、今日は出勤できません、咳が止まらなくて。
3. 動詞. 咳をする。
I breathed in a load of smoke by mistake, and started to cough.
間違って、大量の煙を吸い込んで、咳き込んだ。